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正弦
性質
奇偶性	奇
定義域	(-∞,∞)
到達域	[-1,1]
周期	2π
特定值
當x=0	0
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	((2k+½)π,1)
最小值	((2k-½)π,-1)
其他性質
渐近线	N/A
根	kπ
臨界點	kπ-π/2
拐點	kπ
不動點	0
k是一個整數。

在數學中，正弦（英語：sine、縮寫sindisplaystyle sin ）是一種週期函數，是三角函数的一種。它的定义域是整个实数集，值域是[−1,1]displaystyle [-1,1]。它是周期函数，其最小正周期为2πdisplaystyle 2pi 。在自变量为(4n+1)π2displaystyle frac (4n+1)pi 2（ndisplaystyle n为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为(4n+3)π2displaystyle frac (4n+3)pi 2时，该函数有极小值-1。正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称。

符号史

正弦的符号为sindisplaystyle sin ，取自拉丁文sinus。该符号最早由瑞士数学家欧拉所使用。

定义

直角三角形中

直角三角形，∠Cdisplaystyle angle C為直角，∠Adisplaystyle angle A的角度為θdisplaystyle theta ， 對於∠Adisplaystyle angle A而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一个锐角∠Adisplaystyle angle A的正弦定义为它的对边与斜边的比值，也就是：

sin⁡θ=acdisplaystyle sin theta =frac mathrm a mathrm c

直角坐标系中

设αdisplaystyle alpha 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，P(x,y)displaystyle Pleft(x,yright)是角的终边上一点，r=x2+y2>0displaystyle r=sqrt x^2+y^2>0是P到原点O的距离，则αdisplaystyle alpha 的正弦定义为：

sin⁡α=yrdisplaystyle sin alpha =frac yr

单位圆定义

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θdisplaystyle theta ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于sin⁡θdisplaystyle sin theta 。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了sin⁡θ=y1displaystyle sin theta =frac y1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于2πdisplaystyle 2pi 或小于−2πdisplaystyle -2pi 的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为2π的周期函数：

sin⁡θ=sin⁡(θ+2πk)displaystyle sin theta =sin left(theta +2pi kright)

对于任何角度θdisplaystyle theta 和任何整数kdisplaystyle k。

級數定義

正弦函数（蓝色）的七阶泰勒公式（粉色）在以原点为中心的一个周期内紧密地逼近原函数

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!displaystyle sin x=x-frac x^33!+frac x^55!-frac x^77!+cdots =sum _n=0^infty frac (-1)^nx^2n+1(2n+1)!

微分方程定义

由于正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，因此正弦函数满足初值問題

y″=−y,y(0)=0,y′(0)=1displaystyle y''=-y,,y(0)=0,,y'(0)=1

这就是正弦的微分方程定义。

指数定义

正弦函數的指數定義可由歐拉公式導出：

sin⁡θ=eiθ−e−iθ2idisplaystyle sin theta =frac e^itheta -e^-itheta 2i,

恒等式

用其它三角函数来表示正弦

函数	sin	cos	tan	csc	sec	cot
sin⁡θ=displaystyle sin theta =	sin⁡θ displaystyle sin theta	1−cos2⁡θdisplaystyle sqrt 1-cos ^2theta	tan⁡θ1+tan2⁡θdisplaystyle frac tan theta sqrt 1+tan ^2theta	1csc⁡θdisplaystyle frac 1csc theta	sec2⁡θ−1sec⁡θdisplaystyle frac sqrt sec ^2theta -1sec theta	11+cot2⁡θdisplaystyle frac 1sqrt 1+cot ^2theta

两角和差公式

sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡ydisplaystyle sin left(x+yright)=sin xcos y+cos xsin y

sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡ydisplaystyle sin left(x-yright)=sin xcos y-cos xsin y

二倍角公式

sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θdisplaystyle sin 2theta =2sin theta cos theta ,

三倍角公式

sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin3⁡θdisplaystyle sin 3theta =3sin theta -4sin ^3theta ,

半角公式

sin⁡θ2=±1−cos⁡θ2.displaystyle sin frac theta 2=pm ,sqrt frac 1-cos theta 2.,

和差化积公式

sin⁡θ+sin⁡ϕ=2sin⁡(θ+ϕ2)cos⁡(θ−ϕ2)displaystyle sin theta +sin phi =2sin left(frac theta +phi 2right)cos left(frac theta -phi 2right)

sin⁡θ−sin⁡ϕ=2cos⁡(θ+ϕ2)sin⁡(θ−ϕ2)displaystyle sin theta -sin phi =2cos left(theta +phi over 2right)sin left(theta -phi over 2right);

万能公式

sin⁡α=2tan⁡α21+tan2⁡α2displaystyle sin alpha =frac 2tan frac alpha 21+tan ^2frac alpha 2

含有正弦的积分

∫sin⁡cxdx=−1ccos⁡cxdisplaystyle int sin cx;dx=-frac 1ccos cx,!

∫|sin⁡x|dx=−cos⁡xdisplaystyle int

∫sinn⁡cxdx=−sinn−1⁡cxcos⁡cxnc+n−1n∫sinn−2⁡cxdx(for n>0)displaystyle int sin ^ncx;dx=-frac sin ^n-1cxcos cxnc+frac n-1nint sin ^n-2cx;dxqquad mbox(for n>0mbox),!

∫sin2⁡cxdx=x2−14csin⁡2cx=x2−12csin⁡cxcos⁡cxdisplaystyle int sin ^2cx;dx=frac x2-frac 14csin 2cx=frac x2-frac 12csin cxcos cx!

∫1−sin⁡xdx=∫cvs⁡xdx=2cos⁡x2+sin⁡x2cos⁡x2−sin⁡x2cvs⁡x=21+sin⁡xdisplaystyle int sqrt 1-sin x;dx=int sqrt operatorname cvs x,dx=2frac cos frac x2+sin frac x2cos frac x2-sin frac x2sqrt operatorname cvs x=2sqrt 1+sin x

∫xsin⁡cxdx=sin⁡cxc2−xcos⁡cxcdisplaystyle int xsin cx;dx=frac sin cxc^2-frac xcos cxc,!

∫xnsin⁡cxdx=−xnccos⁡cx+nc∫xn−1cos⁡cxdx(for n>0)displaystyle int x^nsin cx;dx=-frac x^nccos cx+frac ncint x^n-1cos cx;dxqquad mbox(for n>0mbox),!

∫−a2a2x2sin2⁡nπxadx=a3(n2π2−6)24n2π2(for n=2,4,6...)displaystyle int _frac -a2^frac a2x^2sin ^2frac npi xa;dx=frac a^3(n^2pi ^2-6)24n^2pi ^2qquad mbox(for n=2,4,6...mbox),!

∫sin⁡cxxdx=∑i=0∞(−1)i(cx)2i+1(2i+1)⋅(2i+1)!displaystyle int frac sin cxx;dx=sum _i=0^infty (-1)^ifrac (cx)^2i+1(2i+1)cdot (2i+1)!,!

∫sin⁡cxxndx=−sin⁡cx(n−1)xn−1+cn−1∫cos⁡cxxn−1dxdisplaystyle int frac sin cxx^n;dx=-frac sin cx(n-1)x^n-1+frac cn-1int frac cos cxx^n-1dx,!

∫dxsin⁡cx=1cln⁡|tan⁡cx2|displaystyle int frac dxsin cx=frac 1cln left

∫dxsinn⁡cx=cos⁡cxc(1−n)sinn−1⁡cx+n−2n−1∫dxsinn−2⁡cx(for n>1)displaystyle int frac dxsin ^ncx=frac cos cxc(1-n)sin ^n-1cx+frac n-2n-1int frac dxsin ^n-2cxqquad mbox(for n>1mbox),!

∫dx1±sin⁡cx=1ctan⁡(cx2∓π4)displaystyle int frac dx1pm sin cx=frac 1ctan left(frac cx2mp frac pi 4right)

∫xdx1+sin⁡cx=xctan⁡(cx2−π4)+2c2ln⁡|cos⁡(cx2−π4)|

∫xdx1−sin⁡cx=xccot⁡(π4−cx2)+2c2ln⁡|sin⁡(π4−cx2)|displaystyle int frac x;dx1-sin cx=frac xccot left(frac pi 4-frac cx2right)+frac 2c^2ln left

∫sin⁡cxdx1±sin⁡cx=±x+1ctan⁡(π4∓cx2)displaystyle int frac sin cx;dx1pm sin cx=pm x+frac 1ctan left(frac pi 4mp frac cx2right)

∫sin⁡c1xsin⁡c2xdx=sin⁡(c1−c2)x2(c1−c2)−sin⁡(c1+c2)x2(c1+c2)(for |c1|≠|c2|)mbox),!

特殊值

	0displaystyle 0	π12displaystyle frac pi 12	π6displaystyle frac pi 6	π4displaystyle frac pi 4	π3displaystyle frac pi 3	5π12displaystyle frac 5pi 12
sin	0displaystyle 0	6−24displaystyle frac sqrt 6-sqrt 24	12displaystyle frac 12	22displaystyle frac sqrt 22	32displaystyle frac sqrt 32	6+24displaystyle frac sqrt 6+sqrt 24

角度	0∘displaystyle 0^circ	30∘displaystyle 30^circ	45∘displaystyle 45^circ	60∘displaystyle 60^circ	90∘displaystyle 90^circ
sin	02=0displaystyle frac sqrt 02=0	12=12displaystyle frac sqrt 12=1 over 2	22displaystyle frac sqrt 22	32displaystyle frac sqrt 32	42=1displaystyle frac sqrt 42=1

正弦定理

正弦定理說明对于任意三角形，它的边是adisplaystyle a, bdisplaystyle b和cdisplaystyle c而相对这些边的角是Adisplaystyle A, Bdisplaystyle B和Cdisplaystyle C，有：

sin⁡Aa=sin⁡Bb=sin⁡Ccdisplaystyle frac sin Aa=frac sin Bb=frac sin Cc

也表示为：

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2Rdisplaystyle frac asin A=frac bsin B=frac csin C=2R

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用正弦的上述定义证明。在这个定理中出现的公共数sin⁡Aadisplaystyle frac sin Aa是通过Adisplaystyle A, Bdisplaystyle B和Cdisplaystyle C三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是三角测量中常见情况。

参考文献

外部链接

• 
  維基共享資源中有關正弦的多媒體資源

參見

• 餘弦


• 正切


• 三角学


• 三角函数


• 正弦波

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