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  本條目介紹的是複分析中的欧拉公式。關於代数拓扑或者多面體的欧拉公式，請見“欧拉示性数”。

数学常数 e
性质
自然對數 指数函数
应用
复利 歐拉恆等式 欧拉公式 半衰期 指数增長和衰减
e 的定义
证明 e 是无理数（英语：proof that e is irrational） e 的各种表示（英语：List of representations of e） 林德曼-魏尔斯特拉斯定理
相关人物
約翰·納皮爾 萊昂哈德·歐拉
有关主题
沙努尔猜想（英语：Schanuel's conjecture）
查 论 编

欧拉公式（英语：Euler's formula，又稱尤拉公式）是複分析领域的公式，它将三角函数與複指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。欧拉公式提出，對任意实数 xdisplaystyle x，都存在

eix=cos⁡x+isin⁡xdisplaystyle e^ix=cos x+isin x

其中 edisplaystyle e 是自然对数的底数，idisplaystyle i 是虚数，而 cosdisplaystyle cos 和 sindisplaystyle sin 則是餘弦、正弦對應的三角函数，参数 xdisplaystyle x 則以弧度为单位。這一複數指數函數有時還寫作 cis x （英语：cosine plus i sine，余弦加i 乘以正弦）。由於該公式在 xdisplaystyle x 為複數時仍然成立，所以也有人將這一更通用的版本稱為欧拉公式^[1]。

欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼将欧拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”^[2]。

当 x=πdisplaystyle x=pi 时，欧拉公式变为 eiπ+1=displaystyle e^ipi +1=,0displaystyle 0，即欧拉恒等式。

历史

約翰·白努利注意到有^[3]

11+x2=12(11−ix+11+ix).displaystyle frac 11+x^2=frac 12left(frac 11-ix+frac 11+ixright).

因此

∫dx1+ax=1aln⁡(1+ax)+C,displaystyle int frac dx1+ax=frac 1aln(1+ax)+C,

上述公式通过把自然对数和复数（虚数）联系起来，告诉我们关于複對數的一些信息。然而伯努利并没有计算出这个积分。

欧拉也知道上述方程，伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数。欧拉指出复对数可以有无穷多个值。

与此同时，罗杰·柯特斯（英语：Roger Cotes）于 1714 年发现^[4]

ix=ln⁡(cos⁡x+isin⁡x).displaystyle ix=ln(cos x+isin x).

由于三角函数的周期性，一个复数可以加上 2iπ 的不同倍数，而它的复对数可以保持不变。

1740 年左右，欧拉把注意力从对数转向指数函数，得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到，于1748 年发表^[5][4]。

大约 50 年之后，卡斯帕尔·韦塞尔提出可以把复数視做复平面中的点。

形式

对于任意实数xdisplaystyle x,，以下等式恆成立：

eix=cos⁡x+isin⁡xdisplaystyle e^ix=cos x+isin x

由此也可以推导出
sin⁡x=eix−e−ix2idisplaystyle sin x=frac e^ix-e^-ix2i及cos⁡x=eix+e−ix2displaystyle cos x=frac e^ix+e^-ix2。当x=πdisplaystyle x=pi ,时，欧拉公式的特殊形式为eiπ+1=0displaystyle e^ipi +1=0,。

cis函數

在複分析領域，歐拉公式亦可以以函數的形式表示

cis⁡θ=cos⁡θ+isin⁡θdisplaystyle operatorname cis theta =cos theta +isin theta

cis⁡θ=eiθdisplaystyle operatorname cis theta =e^itheta

並且一般定義域為θ∈Rdisplaystyle theta in mathbb R ,，值域為θ∈Cdisplaystyle theta in mathbb C ,（复平面上的所有单位向量）。

當一複數的模為1，其反函數就是輻角（arg函數）。

當θdisplaystyle theta 值為複數時，cis函數仍然是有效的，所以有些人可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。^[6]

证明

方法一：泰勒级数

把函数exdisplaystyle e^x,、cos⁡xdisplaystyle cos x,和sin⁡xdisplaystyle sin x,写成泰勒级数形式：

ex=1+x+x22!+x33!+⋯displaystyle e^x=1+x+frac x^22!+frac x^33!+cdots

cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯displaystyle cos x=1-frac x^22!+frac x^44!-frac x^66!+cdots

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯displaystyle sin x=x-frac x^33!+frac x^55!-frac x^77!+cdots

将x=izdisplaystyle x=iz,代入exdisplaystyle e^x,可得：

eiz=1+iz+(iz)22!+(iz)33!+(iz)44!+(iz)55!+(iz)66!+(iz)77!+(iz)88!+⋯=1+iz−z22!−iz33!+z44!+iz55!−z66!−iz77!+z88!+⋯=(1−z22!+z44!−z66!+z88!−⋯)+i(z−z33!+z55!−z77!+⋯)=cos⁡z+isin⁡zdisplaystyle beginalignede^iz&=1+iz+frac (iz)^22!+frac (iz)^33!+frac (iz)^44!+frac (iz)^55!+frac (iz)^66!+frac (iz)^77!+frac (iz)^88!+cdots \&=1+iz-frac z^22!-frac iz^33!+frac z^44!+frac iz^55!-frac z^66!-frac iz^77!+frac z^88!+cdots \&=left(1-frac z^22!+frac z^44!-frac z^66!+frac z^88!-cdots right)+ileft(z-frac z^33!+frac z^55!-frac z^77!+cdots right)\&=cos z+isin zendaligned & = "1 + iz - fracz^22! - fraciz^33! + fracz^44! + fraciz^55! - fracz^66! - fraciz^77! + fracz^88! + cdots \"
& = "left( 1 - fracz^22! + fracz^44! - fracz^66! + fracz^88! - cdots right) + ileft( z - fracz^33! + fracz^55! - fracz^77! + cdots right) \"
& = "cos z + isin z"
endalign
"/>

方法二：求導法

对于所有x∈Idisplaystyle xin I，定義函數f(x)=cos⁡x+isin⁡xeixdisplaystyle f(x)=frac cos x+isin xe^ix

由於eix⋅e−ix=e0=1displaystyle e^ixcdot e^-ix=e^0=1

可知eixdisplaystyle e^ix,不可能為0，因此以上定義成立。

f(x)displaystyle f(x),之导数為：

f′(x)=(−sin⁡x+icos⁡x)⋅eix−(cos⁡x+isin⁡x)⋅i⋅eix(eix)2=−sin⁡x⋅eix−i2sin⁡x⋅eix(eix)2=−sin⁡x⋅eix+sin⁡x⋅eix(eix)2=0displaystyle beginalignedf'(x)&=frac (-sin x+icos x)cdot e^ix-(cos x+isin x)cdot icdot e^ix(e^ix)^2\&=frac -sin xcdot e^ix-i^2sin xcdot e^ix(e^ix)^2\&=frac -sin xcdot e^ix+sin xcdot e^ix(e^ix)^2\&=0endaligned & = "frac-sin xcdot e^ix-i^2sin xcdot e^ix(e^ix)^2 \"
& = "frac-sin xcdot e^ix+sin xcdot e^ix(e^ix)^2 \"
& = "0"
endalign
"/>

设[a,b]∈Idisplaystyle [a,b]in I和c∈(a,b)displaystyle cin (a,b)

f′(c)=f(b)−f(a)b−a.displaystyle f'(c)=frac f(b)-f(a)b-a.（拉格朗日中值定理）

∵f′(x)=0displaystyle because f'(x)=0

∴f′(c)=0displaystyle therefore f'(c)=0

f(a)=f(b)displaystyle f(a)=f(b)

因此f(x)displaystyle f(x),必是常數函數。

f(x)=f(0)displaystyle f(x)=f(0)

cos⁡x+isin⁡xeix=cos⁡0+isin⁡0e0=1displaystyle frac cos x+isin xe^ix=frac cos 0+isin 0e^0=1

重新整理，即可得到：

eix=cos⁡x+isin⁡xdisplaystyle e^ix=cos x+isin x

方法三：微積分

找出一個函數，使得dydx=iydisplaystyle frac dydx=iy及f(0)=1displaystyle f(0)=1

ddxeix=ieix=iydisplaystyle frac ddxe^ix=ie^ix=iy

ddx(cos⁡x+isin⁡x)=−sin⁡x+icos⁡x=i(isin⁡x+cos⁡x)=iydisplaystyle beginalignedfrac ddx(cos x+isin x)&=-sin x+icos x\&=i(isin x+cos x)\&=iyendaligned

ei0=e0=1displaystyle e^i0=e^0=1

cos⁡0+isin⁡0=1+i(0)=1displaystyle cos 0+isin 0=1+i(0)=1

如果使用積分法，iydisplaystyle iy的原函數是以上兩個函數。

x=0displaystyle x=0時，原函數的值相等，所以以上兩個函數相等。

eix=cos⁡x+isin⁡xdisplaystyle e^ix=cos x+isin x

證明和角公式

由於eiα=cos⁡α+isin⁡αdisplaystyle e^ialpha =cos alpha +isin alpha 且eiβ=cos⁡β+isin⁡βdisplaystyle e^ibeta =cos beta +isin beta ，則有

ei(α+β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=eiα+iβ=eiα×eiβ=(cos⁡α+isin⁡α)×(cos⁡β+isin⁡β)=(cos⁡α×cos⁡β+isin⁡α×isin⁡β)+(isin⁡α×cos⁡β+cos⁡α×isin⁡β)=(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)+i(sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β)displaystyle beginalignede^i(alpha +beta )&=cos(alpha +beta )+isin(alpha +beta )=e^ialpha +ibeta \&=e^ialpha times e^ibeta \&=(cos alpha +isin alpha )times (cos beta +isin beta )\&=(cos alpha times cos beta +isin alpha times isin beta )+(isin alpha times cos beta +cos alpha times isin beta )\&=(cos alpha cos beta -sin alpha sin beta )+i(sin alpha cos beta +cos alpha sin beta )\endaligned

實部等於實部，虛部等於虛部，因此

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βdisplaystyle cos(alpha +beta )=cos alpha cos beta -sin alpha sin beta

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βdisplaystyle sin(alpha +beta )=sin alpha cos beta +cos alpha sin beta

在複變分析的應用

這公式可以說明當xdisplaystyle x為實數時，函數eixdisplaystyle e^ix可在複數平面描述一單位圓。且xdisplaystyle x為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角。先前一個在複數平面的複點只能用笛卡尔坐标系描述，歐拉公式在此提供複點至極坐標的變換

任何複數z=x+yidisplaystyle z=x+yi皆可記為

z=x+iy=|z|(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ)=|z|eiϕz

z¯=x−iy=|z|(cos⁡ϕ−isin⁡ϕ)=|z|e−iϕ(cos phi -isin phi )=

在此

x=Rezdisplaystyle x=mathrm Re z,為實部

y=Imzdisplaystyle y=mathrm Im z,為虛部

|z|=x2+y2displaystyle 為z的模

ϕ=atan2(y,x)displaystyle phi =mathrm atan2 (y,x)，其中atan2(y,x)={arctan⁡(yx)x>0π+arctan⁡(yx)y≥0,x<0−π+arctan⁡(yx)y<0,x<0π2y>0,x=0−π2y<0,x=0undefinedy=0,x=0displaystyle mathrm atan2 (y,x)=begincasesarctan left(frac yxright)&qquad x>0\pi +arctan left(frac yxright)&qquad ygeq 0,x<0\-pi +arctan left(frac yxright)&qquad y<0,x<0\frac pi 2&qquad y>0,x=0\-frac pi 2&qquad y<0,x=0\textundefined&qquad y=0,x=0endcasesarctanleft(frac y xright) & qquad x > ""0 \""
pi + arctanleft(frac y xright) & qquad y ge 0 , x < ""0 \""
-pi + arctanleft(frac y xright) & qquad y < 0 , x < ""0 \""
fracpi2 & qquad y > 0 , x = ""0 \""
-fracpi2 & qquad y < 0 , x = ""0 \""
textundefined & qquad y = "0, x = 0"
endcases"/>

參見

• cis函數


• 歐拉恆等式

参考资料